Python x 알고리즘 : 최단경로

🍃 최단경로(Shortest Path) 알고리즘

• 최단 경로 알고리즘은 말 그대로 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘이다. 이는 길 찾기 문제라고도 불린다.
• 최단 경로 유형에는 다양한 종류가 있는데, 상황에 맞는 효율적인 알고리즘이 이미 정립되어 있다 
  • 최단 경로 문제는 보통 그래프를 이용해 표현하는데 각 지점은 그래프에서 "노드"로 표현되고, 지점간 연결된 도로는 그래프에서 "간선"으로 표현된다.
  • 실제 코딩 테스트에서는 최단 경로를 모두 출력하는 문제보다는 단순히 최단 거리를 출력하도록 요구하는 문제가 많이 출제된다.

• 다익스트라 최단 경로 알고리즘, 플로이드 워셜, 벨만 포드 알고리즘이 학부 수준의 알고리즘인데 이 세개 중 코딩테스트에서는 다익스트라 최단경로와 플로이드 워셜이 가장 많이 출제된다.
• 그리디 알고리즘과 다이나믹 프로그래밍 알고리즘이 최단 경로 알고리즘에 그대로 적용된다

 

 

 

🍃 다익스트라(Dijkstra) 최단 경로 알고리즘

• 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 그래프에서 여러 개의 노드가 있을 때,                                                                     특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘이다.
• 다익스트라 알고리즘은 "음의 간선"이 없을 때 정상적으로 동작한다.
• 음의 간선이란 0보다 작은 값을 가지는 간선을 의미하는데, 현실 세계의 길(간선)은                                                    음의 간선으로 표현되지 않으므로 다익스트라 알고리즘은 실제로 GPS 소프트웨어의 기본 알고리즘으로 채택되곤 한다.
• 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 기본적으로 그리디 알고리즘으로 분류된다.                                                            매번 "가장 비용이 적은 노드"를 선택해서 임의의 과정을 반복하기 때문이다.

 

다익스트라 알고리즘의 간단한 원리

1. 출발 노드를 설정한다.
2. 최단 거리 테이블을 초기화한다.
3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.
4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.
5. 위 과정에서 3번과 4번을 반복한다.

• 다익스트라 알고리즘은 최단 경로를 구하는 과정에서 "각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리" 정보를 항상 1차원 리스트(최단 거리 테이블)에 저장하며 리스트를 계속 갱신한다는 특징이 있다.
• 매번 현재 처리하고 있는 노드를 기준으로 주변 간선을 확인한다. 나중에 현재 처리하고 있는 노드와 인접한 노드로 도달하는 더 짧은 경로를 찾으면 "더 짧은 경로도 있었네? 이제부터는 이 경로가 제일 짧은 경로야" 라고 판단하는 것이다.
• 방문하지 않은 노드 중에서 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 확인해 그 노드에 대하여 4번 과정을 수행한다는 점에서 그리디 알고리즘으로 볼 수 있다.
  • 그렇기 때문에, 사실 마지막 노드에 대해서는 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 경우를 확인할 필요가 없다.익스트라 알고리즘이 진행되면서 한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는 것으로 이해할 수 있다. 

 

🍃 다익스트라 알고리즘의 구현 방법

 

방법 1. 간단한 다익스트라 알고리즘

• 시간 복잡도 : O(v²) 여기서 v는 노드의 개수.

처음에 각 노드에 대한 최단 거리를 담는 1차원 리스트를 선언한다. 이후에 단계마다 "방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택"하기 위해 매 단계마다 1차원 리스트의 모든 원소를 확인(순차 탐색)한다.

• 다음 소스코드는 입력되는 데이터의 수가 많다는 가정 아래 input()보다 더 빠르게 동작하는 sys.std.realine() 으로 치환하여 사용하는 방법을 사용, 모든 리스트는 (노드의 개수 + 1)의 크기로 할당하여, 노드의 번호를 인덱스로 하여 바로 리스트에 접근할 수 있도록 했다.

import sys

input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정


#노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())

#시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())

#각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]


#방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트 만들기
visted = [False] * (n + 1)

#최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n +1)

#모든 간선 정보를 입력받기

for _ in range(m):
  a, b, c = map(int, input().split())
  # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
  graph[a].append((b, c))


#방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환


def get_smallest_node():
  min_value = INF
  index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
  for i in range(1, n + 1):
    if distance[i] < min_value and not visted[i]:
      min_value = distance[i]
      index = i
  return index



def dijkstra(strat):
  #시작 노드에 대해서 초기화
  distance[start] = 0
  visted[start] = True
  for j in graph[start]:
    distance[j[0]] = j[1]
  #시작 노드를 제외한 전체 n-1개의 노드에 대해 반복
  for i in range(n - 1):
    #현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
    now = get_smallest_node()
    visted[now] = True
    #현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
    for j in graph[now]:
      cost = distance[now] + j[1]
      #현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
      if cost < distance[j[0]]:
        distance[j[0]] = cost

dijkstra(start)

#모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n+1):
  # 도달 할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
      print("INFINITY")

    #도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
      print(distance[i])

간단한 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도  

• O(v²)
• 총 O(v)번에 걸쳐서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형 탐색해야하고, 현재 노드와 연결된 노드를 매번 일일히 확인하기 때문이다.
• 따라서 코딩 테스트의 최단 경로 문제에서 전체 노드가 5,000개 이하라면 이 코드로 풀 수 있지만, 전체 노드가 10,000개가 넘어간다면 개선된 다익스트라 알고리즘을 이용해야한다.

 

 

방법 2. 개선된 다익스트라 알고리즘

• 개선된 다익스트라 알고리즘의 시간복잡도는 O(ElogV)를 보장한다.
• 간단한 다익스트라 알고리즘은 '최단거리가 가장 짧은 노드"를 찾기 위해서, 매번 최단 거리 테이블을 선형적으로(모든 원소를 앞에서부터 하나씩) 탐색해야 했다.
• 개선된 다익스트라 자료구조는 힙(Heap)자료구조를 사용한다. 힙 자료구조를 이용하게 되면 특정 노드까지의 최단 거리에 대한 정보를 힙에 담아서 처리하므로 출발 노드로부터 가장 거리가 짧은 노드를 더욱 빠르게 찾을 수 있다. 이 과정에서 선형 시간이 아닌 로그 시간이 걸린다.

 

힙 설명

• 힙 자료구조는 우선순위 큐(Priority queue)를 구현하기 위하여 사용하는 자료구조 중 하나다.
• 우선순위 큐는 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제 한다는 특징을 가지고 있다.

• 이러한 우선순위 큐는 데이터를 우선순위에 따라 처리하고 싶을 때 사용한다.
• 파이썬은 우선순위 큐가 필요할 때 PriorityQueue 혹은 heapq를 사용할 수 있는데, 이 두 라이브러릴는 모두 우선순위 큐 기능을 지원한다.
• 다만 PriorityQueue 보다는 일반적으로 heapq가 더 빠르게 동작하기 때문에 수행 시간이 제한된 상황에서는 heapq를 사용하는 것을 권장한다.

 

• 우선순위 값을 표현할 때는 일반적으로 정수형 자료형의 변수가 사용된다. 데이터가 (가치, 물건)으로 구성된다면 "가치"값이 우선순위 값이 되는 것이다.
• 우선순위 큐를 구현할 때는 내부적으로 최소 힙 혹은 최대 힙을 이용한다.
  • 최소 힙을 이용하는 경우 "값이 낮은 데이터가 먼저 삭제(가장 먼저 나감)", 최대 힙을 이용하는 경우 "값이 큰 데이터가 먼저 삭제"
  • 파이썬에서는 기본적으로 최소 힙 구조를 이용하는데 다익스트라 알고리즘에서는 비용이 적은 노드를 우선하여 방문하므로 최소 힙 구조를 기반으로 하는 파이썬의 우선순위 큐 라이브러리를 그대로 사용하면 적합하다.
• 최소 힙을 최대 힙처럼 사용하기 위해서 일부러 우선순위에 해당하는 값에 음수 부호(-)를 붙여서 넣었다가, 나중에 우선순위 큐에서 꺼낸 다음에 다시 음수 부호(-)를 붙여서 원래의 값으로 돌리는 방식을 사용할 수 있다.
• 우선순위 큐를 이용해서 시작 노드로부터 "거리"가 짧은 노드 순서대로 큐에서 나올 수 있도록 다익스트라 알고리즘을 작성
• 최단 거리를 저장하기 위한 1차원 리스트(최단 거리 테이블)는 아까와 같이 그대로 이용하고, 현재 가장 가까운 노드를 저장하기 위한 목적으로만 우선순위 큐를 추가로 이용한다.
• 앞의 코드와 비교했을 때 get_smallest_node()라는 함수를 작성할 필요가 없다는 특징이 있다. "최단 거리가 가장 짧은 노드"를 선택하는 과정을 다익스트라 최단 경로 함수 안에서 우선순위 큐를 이용하는 방식으로 대체한다.

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) #무한을 의미하는 값으로 10억을 설정


#노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n,m = map(int, input().split())

#시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())

#각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]


#최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n+1)

#모든 간선 정보를 입력받기

for _ in range(m):
  a, b, c = map(int, input().split())
  # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
  graph[a].append((b,c))


def dijkstra(start):
  q = []

  #시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입

  heapq.heappush(q, (0, start))
  distance[start] = 0

  while q: #이렇게 쓰는거 자체가 큐가 비어있지 않을때까지 반복을 돌게 해준다. 
    #가장 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기 
    dist, now = heapq.heappop(q)
    #현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
    if distance[now] < dist:
      continue
    #현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
    for i in graph[now]:
      cost = dist + i[1]
      #현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
      if cost < distance[i[0]]:
        distance[i[0]] = cost
        heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

#다익스트라 알고리즘
dijkstra(start)


#모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n+1):
  #도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
  if distance[i] == INF:
    print("INFINITY")
  else:
    print(distance[i])

개선된 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도

• O(ElogV)
• 간단한 다익스트라 알고리즘에 비해 시간 복잡도가 훨씬 빠르다는 특징이 있다.
• 이는 한 번 처리된 노드는 더 이상 처리되지 않기 때문이다.노드를 하나씩 꺼내 검사하는 반복문(while문)은 노드의 개수 V 이상의 횟수로는 반복되지 않는다.
• 또한 V번 반복될 때마다 각각 자신과 연결된 간선들을 모두 확인한다. 따라서 현재 우선순위 큐에서 꺼낸 노드와 연결된 다른 노드들을 확인하는 총횟수는 총 최대 간선의 개수(E)만큼 연산이 수행될 수 있다.

 

🍃 플로이드 워셜 알고리즘

• 다익스트라 알고리즘은 "한 지점에서 다른 특정 지점까지의 최단 경로를 구해야 하는 경우"에 사용할 수 있는 최단 경로 알고리즘"이다.

플로이드 워셜 알고리즘은 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 구해야 하는 경우 사용할 수 있는 알고리즘이다.

• 소스코드 또한 매우 짧아서 구현 과정에서 어려움이 덜 하다.
• 플로이드워셜 알고리즘 또한 단계마다 거쳐 가는 노드를 기준으로 알고리즘을 수행한다. 하지만 매번 방문하지 않은노드 중에서 최단 거리를 갖는 노드를 찾을 필요가 없다는 점이 다르다.
• 다익스트라는 1차원 리스트를 이용했지만, 플로이드 워셜 알고리즘은 2차원 리스트에 최단 거리 정보를 저장한다는 특징이 있다.
• 플로이드 워셜 알고리즘은 다이나믹 프로그래밍이라는 특징이 잇다. 노드의 갯수가 N이라고 할 때, N번 만큼의 단계를 반복하며 '점화식에 맞게' 2차원 리스트를 갱신하기 때문이다.

구체적인 점화식

Dab = min(Dab, Dak + Dkb)

INF = int(1e9) #무한을 의미하는 값으로 10억을 설정


#노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기

n = int(input())
m = int(input())

#2차원 리스트(그래프 표현)

graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

#자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화

for a in range(1, n + 1):
  for b in range(1, n+1):
    if a == b:
      graph[a][b] = 0

#각 간선에 대한 정보를 입력받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
  #A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
  a, b, c = map(int, input().split())
  graph[a][b] = c


#점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘 수행
for k in range(1, n+1):
  for a in range(n + 1):
    for b in range(1, n+1):
      graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])


for a in range(1, n+1):
  for b in range(1, n+1):
    #도달 할 수 없는 경우, 무한이라고 출력
    if graph[a][b] == INF:
      print("무한", end=" ")
    #도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
      print(graph[a][b], end="")


  print()

플로이드 워셜 알고리즘의 시간 복잡도

• O(N³)
• 단계마다 O(N²)의 연산을 통해 현재 노드를 거쳐 가는 모든 경로를 고려한다.