백준 4948번 : 베르트랑 공준(에라토스테네스의 체 알고리즘)

문제

베르트랑 공준은 임의의 자연수 n에 대하여, n보다 크고, 2n보다 작거나 같은 소수는 적어도 하나 존재한다는 내용을 담고 있다.

이 명제는 조제프 베르트랑이 1845년에 추측했고, 파프누티 체비쇼프가 1850년에 증명했다.

예를 들어, 10보다 크고, 20보다 작거나 같은 소수는 4개가 있다. (11, 13, 17, 19) 또, 14보다 크고, 28보다 작거나 같은 소수는 3개가 있다. (17,19, 23)

자연수 n이 주어졌을 때, n보다 크고, 2n보다 작거나 같은 소수의 개수를 구하는 프로그램을 작성하시오. 

입력

입력은 여러 개의 테스트 케이스로 이루어져 있다. 각 케이스는 n을 포함하는 한 줄로 이루어져 있다.

입력의 마지막에는 0이 주어진다.

출력

각 테스트 케이스에 대해서, n보다 크고, 2n보다 작거나 같은 소수의 개수를 출력한다.

제한

• 1 ≤ n ≤ 123,456

예제 입력 1 복사

1
10
13
100
1000
10000
100000
0

예제 출력 1 복사

1
4
3
21
135
1033
8392

 

 

 

 

풀이

import sys

def sieve_of_eratosthenes(limit):
    sieve = [True] * (limit + 1)
    sieve[0] = sieve[1] = False

    for p in range(2, int(limit**0.5) + 1):
        if sieve[p]:
            for i in range(p * p, limit + 1, p):
                sieve[i] = False

    return sieve

primes = sieve_of_eratosthenes(2 * 123456)  # 2 * 123456 범위 내의 소수를 미리 계산

while True:
    n = int(sys.stdin.readline().strip())
    if n == 0:
        break
    count = 0
    for i in range(n + 1, 2 * n + 1):
        if primes[i]:
            count += 1
    print(count)

- 처음에는 조건에 맞는 모든 수에 대해 소수인지 판별 비교하는 방법을 썼다.(시간 초과)

- 에라토스테네스의 체 알고리즘을 사용해 미리 소수를 찾아놓고 비교하는 방법을 사용하면 시간 복잡도 면에서 훨씬 빠르다. 에라토스테네스의 체 알고리즘의 시간 복잡도는 O(NloglogN)이다.